제노의 역설은 어떻게 유행병의 대처에 도움이 되었나
제노는 죽음 앞에서도 다른 사람들을 좌절시켰습니다. 독재자 데밀루스(Demylus)에 대해 반역음모를 꾀했다는 이유로 체포되었을 때, 그는 동료들을 불지 않기 위해 자신의 혀를 깨문 후 그 혀를 상대방앞에 뱉었습니다.
제노는 일생 동안 다른 이들을 좌절시키켰습니다. 특히 그는 까다로운 문제들을 만드는 것으로 유명했습니다. 그가 만든 일련의 모순처럼 보이는 이야기들인 “제노의 역설들(Zeno’s Paradoxes)”은 수 백 년간 철학자와 수학자들을 고민하게 만들었습니다.
제노의 역설 중 가장 유명한 것은 “아킬레스와 거북이”입니다. 트로이 전쟁의 영웅 아킬레스는 (아마 이솝우화에서 토끼를 물리치고 기고만장해 있었을) 거북이 와 장거리 경주를 벌이기로 합니다. 그리고 공평한 대결을 위해 아킬레스는 거북이에게 적당한 거리 – 1km 라고 하지요 – 를 먼저 출발할 것을 제안합니다. 경주가 시작되고, 아킬레스는 곧 거북이가 출발한 위치에 도착합니다. 그러나 그 동안 거북이도 약간 – 아킬레스가 움직인 거리의 1/10 만큼이라고 합시다 – 움직였습니다. 그리고 아킬레스가 이 위치에 도착했을 때 거북이는 다시 좀 더 나아갔습니다.
제노는 이런 논리를 이용해 아킬레스는 절대로 거북이를 앞지를 수 없다고 주장했습니다. 비록 아킬레스가 따라잡아야 할 거리는 줄어들지만, 그 횟수가 무한하기 때문입니다.
1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + …
제노는 이렇게 말했습니다. “무한한 횟수의 이동을 유한한 시간 내에 할 수는 없다.”
19세기가 되어서야 수학자들은 제노의 주장이 틀렸음을 증명할 수 있었습니다. 아킬레스와 거북이 사이의 거리는 갈수록 줄어들며, 따라서 아킬레스가 거북이를 따라잡는 시간은 점점 더 짧아지게 됩니다. 그 결과 아킬레스는 거북이를 따라 잡게 되고 결국은 앞지르게 됩니다.
그럼 언제 아킬레스는 거북이를 따라잡을 까요? 19세기 수학자 카를 바이어슈트라스(Karl Weierstrass) 는 이를 계산할 수 있는 아름다운 식을 발견했습니다. 그는 0 과 1 사이의 어떤 숫자 n 에 대해서도 다음 식이 성립함을 보였습니다.
1 + n + n^2 + n^3 + … = 1/(1-n)
위에서 예를 든 아킬레스와 거북이의 이야기에서 n = 1/10 이며 따라서 아킬레스가 거북이를 따라잡는 거리는 약 1.11 km 가 됩니다. 그리고 그가 사용한 이 공식은 오늘날에도 유용하게 사용되고 있으며 특히 질병과의 싸움에 응용되고 있습니다.
중동호흡기증후군(MERS)은 2012년 9월 처음 알려진 이래 전 지구를 통틀어 400건 이상이 보고되었습니다. 알 수 없는 원인으로 한 명에게만 발병한 경우도 있으며 사람들 간의 접촉을 통해 여러 명의 사람들에게 발병이 일어난 경우도 있습니다.
질병이 얼마나 잘 전염되는지를 나타내는 한 가지 방법은 문자 R로 쓰여지는 재생산 수(reproduction number)입니다. 이는 환자 한 명에 의해 감염되는 평균적인 사람의 수를 나타냅니다. 만약 R이 1보다 크면, 환자들은 각각 한 명 이상의 새로운 환자를 만들게 되며 이 질병은 크게 유행하게 되며 1보다 적다면 이 질병은 결국 사라지게 됩니다. 이 R을 이용해 질병에 감염될 모든 사람의 수를 구할 수 있습니다. 첫 번째 환자는 평균적으로 R명을 감염시키며, 이 R 명은 다시 R^2명을 감염시키게 됩니다. 곧, 모든 환자의 수를 구하기 위해 우리가 해야하는 계산은 아킬레스가 거북이를 따라잡기 위해 달려야 했던 거리의 계산과 동일합니다.
1 + R + R^2 + R^3 + … = 1/(1-R)
중동호흡기증후군의 경우, 우리는 직접적으로 R 을 구하지는 못했습니다. 그러나 위의 수식을 뒤집어, 곧 한 번의 발병에 대해 몇 명의 환자가 생기는지를 관찰한 다음 이를 이용해 R을 역산할 수 있습니다. 곧 R 은 다음과 같이 쓰여집니다.
R = 1 – 1/(발병당 평균 환자수)
중동호흡기증후군은 발병 첫 해, 한 명의 환자만이 발생한 경우부터 20명 이상의 환자가 발병한 다양한 경우가 있었고, 한 발병당 평균 환자수는 2.7명이 었습니다. 이로부터 중동호흡기증후군의 R 값을 계산할 수 있으며 그 값은 0.6 이 됩니다. 반면에 조류독감 H7N9은 평균 1.1명의 환자가 발생했으며 이때 R 값은 0.1이 되고, 우리는 조류독감이 중동호흡기증후군에 비해 매우 작은 전염률을 가지고 있다는 사실을 알게 됩니다.
이런 방법을 통해 연구자들은 실제 유행병에 대한 구체적인 연구 없이도 그 질병의 개략적인 특징을 알아낼 수 있습니다. 그리고 이 정보는 그 유행병에 대한 정보가 거의 없는 초기가 이 병의 대처에 가장 중요한 시기라는 점에서 특히 가치가 있습니다. (Conversation)