행운의 수(Lucky Number) 2187
지난 2010년 세상을 떠난 마틴 가드너는 1997년 썼던 한 기사에서 자신이 어렸을 때 살던 집의 번지수인 2천187에 어떤 특별한 성질이 있는지를, 자신의 가상의 수학자 친구인 어빙 조슈아 매트릭스 박사에게 물었습니다.
매트릭스 박사는 즉시, 2187은 3의 7승이며 따라서 3진수 10000000의 십진수 표현에 해당한다고 말해줍니다. 그리고 9999에서 2187을 빼면 7812라는 2187을 뒤집은 수가 나타날 뿐 아니라 21과 87의 곱은 1827 로 원래 수의 순서를 약간 바꾼 수이며, 27과 81을 곱할 경우 처음 수인 2187이 나타난다고 이야기합니다.
“모든 수는 수없이 많은 특별한 성질들을 가지고 있어요.”
매트릭스 박사는 말합니다. 그리고 2187은 또한 행운의 수라고 말합니다.
행운의 수(lucky number)는 폴란드 출신의 미국 수학자 스타니슬라프 울람이 1950년대에 수학적으로 정의하고 이름을 붙였습니다. 이 수는 어떤 수로도 나누어지지 않는 수인 소수(prime number)와 비슷한 성질을 가지고 있습니다. 행운의 수를 찾는 방법은 소수를 찾는 방법과 비슷합니다.
소수는 에라토스테네스의 체라는 방법을 통해 쉽게 찾을 수 있습니다. 1부터 시작해 길게 쓰여진 자연수들이 있다고 합시다. 그 중 먼저 2를 제외한 2의 배수를 모두 지웁니다. 그 다음 3으로 가 3을 제외한 3의 배수를 모두 지웁니다. 남은 수 중 가장 작은 수인 5로 가서 5를 제외한 5의 배수를 모두 지웁니다. 이 과정을 반복하면 거기에는 소수만이 남게 됩니다.
행운의 수도 이와 비슷한 방법으로 정의됩니다. 먼저 2에서 시작해 2의 배수들을 모두 지웁니다. 이제 1,3,5,7,9,11,13 등의 홀수만 남아 있게 됩니다. 그 다음 수는 3이며, 따라서 지워지지 않고 남아있는 수 중 3의 배수번째 수, 곧 세번 째 수(곧 5), 여섯 번 째 수(곧 11) 등을 지워나갑니다. 남아있는 수 중 그 다음 수는 7이며, 따라서 7을 제외한 7의 배수번째 수(19 등)를 지워나갑니다. 이런 방법을 통해 행운의 수를 구할 수 있습니다. 이렇게 수들을 지워나갔을 때 어떤 수들은 지워지는 것을 피할 수 있었기 때문에 울람은 이 수들이 운이 좋은(lucky) 수라고 부른 것입니다.
행운의 수와 소수는 매우 유사한 성질들을 가지고 있습니다. 예를 들어, 100보다 적은 소수의 갯수는 25개이며 행운의 수의 갯수는 23개입니다. 100보다 작은 쌍둥이 소수(크기가 2 차이나는 소수)는 8개가 있으며 쌍둥이 행운의 수는 7개입니다. 어떤 짝수도 두 소수의 합으로 표현된다는 골드바흐의 가설은 수학계에서 가장 유명한 미제중의 하나입니다. 어떤 짝수도 두 행운의 수의 합으로 표현된다는 가설 역시 아직 풀리지 않은 문제입니다.
2,187이 가진 흥미로운 성질은 아래에 더 있습니다.
2187+1234=3421
2187+12345=14532
2187+123456=125643
2187+1234567=1236754
2187+12345678=12347865
2187+123456789=123458976
(사이언티픽 아메리칸)